• Insurance Risk Model

• Stock Option

이번 장에서는 이산적으로 Event 가 발생한다면 저희가 어떻게 시뮬레이션을 진행할 지에 대한 내용입니다. 구체적으로는 주식에 관한 얘기가 많습니다.

Insurance Risk Model (보험 위험 모형)

보험 회사를 고려해보겠습니다. 보험 회사의 경우에는 다음과 같이 돈이 움직입니다.

• 보험 회사에게 돈이 가입자 수만큼 조금씩 들어온다 $\rightarrow$ 보험료

• 가끔 목돈이 한번에 빠진다 $\rightarrow$ 사고가 나서 보험금 지급

• 가입자는 가끔 떠나고 가끔 들어온다.

그러면 여기에서 무작위로 일어나는 사건들은 다음과 같습니다.

• 가입

• 해지

• 청구 (보험료 지급)

여기에서 저희가 보통 궁금한 것은 바로 보험 회사가 지금부터 시간 $T$ 까지 마이너스 (파산) 이 되지 않을 확률입니다. 그러면 이것들을 Notation 과 함께 쓰자면 다음과 같습니다.

• 청구 도착 / Event $\rightarrow$ 포아송 Process with $\lambda$

• 청구액 $\rightarrow$ $Y \sim F$

• 신규가입 $\rightarrow$ Poisson Process with $\nu$

• 가입자의 계약 유지 시간 $\sim$ $\mathrm{Exp}(\mu),$ Mean = $1/\mu$

• 보험료 수입 $\rightarrow$ $c,$ 단위 시간 별로

• 초기 상태 $\rightarrow$ 고객 수 $n_0,$ 자본 $a_0 \ge 0$

필요한 조건들 :

• $N_t$ 는 정확하게는 $[0, t]$ 구간 사이에 발생한 사건 수이고 포아송 과정을 따른다면 $N_t \sim \mathrm{Pois}(\lambda t)$ 입니다. $X$ 는 첫 사건 시각 이라고 한다면,

  $$\mathrm{Pr}\left\{ X > t \right\} = \mathrm{Pr}\left\{ N_t = 0 \right\} = e^{-\lambda t} \Rightarrow X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$$

• 첫 사건 시각들의 분포들이 독립적이어야 합니다.

  $$X_i \stackrel{\text{i.i.d}}{\sim} \mathrm{Exp}(\lambda_i) \Rightarrow \min_i X_i \sim \mathrm{Exp}\left(\sum_i\lambda_i\right), \; \mathrm{Pr}\left\{ \min_i X_i = X_k \right\} = \lambda_k / \sum_i \lambda_i$$

이를 통해서 현재 가입자 수가 $n$ 명인 상황에 적용시킨다면,

• 다음 사건까지의 시간 $X \sim \mathrm{Exp}\left(\nu + n \mu + n \lambda \right)$

• 사건 종류 $J$ 의 확률
  • $J = 1 :$ (신규가입) $\frac{\nu}{\nu + n \mu + n \lambda}$
  • $J = 2 :$ (해지) $\frac{n \mu}{\nu + n \mu + n \lambda}$
  • $J = 3 :$ (청구) $\frac{n\lambda}{\nu + n \mu + n \lambda}$

• Output Variable $I$

  $$I= \begin{cases}1 & \text { if capital } \geq 0 \text { in }[0, T] \\ 0 & \text { o.w. }\end{cases}$$

그럼 이러한 세팅을 시뮬레이션으로 진행해서 어떻게하면 저희가 원하는 확률을 구할 수 있을까요?

Stock Option (주식 옵션 행사)

$Y \sim \mathrm{N}(\mu, \sigma^2)$ 이라고 한다면 $Z := \exp(Y) \sim \mathrm{LN}(\mu, \sigma^2)$ 의 분포를 따르며, 이를 Log-Normal 분포라고 부릅니다. 이때 특징으로는 다음과 같습니다.

• $\mathbb{E}[Z] = \exp\left(\mu + \sigma^2 / 2 \right)$

• $\mathrm{Var}(Z) = \left[\exp \left(\sigma^2\right)-1\right] \exp \left(2 \mu+\sigma^2\right)$

• $Z$ 확률변수들끼리 곱셈을 해도 Log-Normal 분포는 유지가 됩니다.

이것을 활용한 Random Walk 를 Log-normal Random Walk Model 이라고 부르며, 이는 다음과 같습니다.

• $S_0 :$ 시작 종가

• $S_n :$ $n$ 일차 종가

• $\log \frac{S_i}{S_{i-1}}=X_i \sim \mathrm{~N}\left(\mu, \sigma^2\right)$

• $\log \frac{S_i}{S_{i-2}}=X_i+X_{i-1} \sim \mathrm{~N}\left(2 \mu, 2 \sigma^2\right)$

그럼 이때 이것을 American Call Option 에 적용해보겠습니다.

American Call Option 이란, 어떠한 주식을 마감일 (만기 전 언제든) 까지 정해진 가격 $K$ 에 살 수 있는 권리입니다.

• 오늘 주가를 $S$ 이라고 하며 지금 행사하게 된다면 이익은 $S-K$ 가 나옵니다.

• $K :$ 우리가 사겠다는 정해진 가격, Striking Price.

• $\alpha := \mu + \sigma^2 /2, \quad \mathbb{E}[\exp(X_i)] = \exp\left( \mu + \sigma^2 / 2 \right)$

그러면 이때 저희는 두 가지 행동을 취할 수 있습니다.

1. 지금 행사하기 : 확실한 이익을 바로 확보하지만 더 오를 기회를 포기하게 됨.

2. 기다리기 : 더 오르는 것을 기대하면서 추가 이익을 챙김.

이때 2가지 케이스를 고려해볼 수가 있습니다.

1. Bull Market (상승세) - $\alpha \ge 0$

   이런 케이스에서는 어차피 오르는 추세이기 때문에 마지막 순간까지 기다렸다가 만약에 이익이 있다, 즉 $S_T > K$ 이면 팔고 아니면 다음 번을 기다립니다.

2. Decreasing (하락세) - $\alpha < 0$

   사실 1번보다는 더 중요한 관점이며, 어느 때에 팔아야지 손실을 최소화할 수 있을지에 대한 질문으로 바뀌게 됩니다.

   다시 말하자면 지금 파는게 나중에 파는 것보다 이익일까? 에 대한 질문을 해야합니다. 이것을 Monte-Carlo Simulation 을 통해서 구하는게 가능합니다.

   • $m :$ 만기까지 남은 일수
   • $P_m = S_{N-m} :$ 만기일 부터 $m$ 일 전 종가

   그러면 Option 을 진행하는 기준은 둘을 만족하면 입니다.

   1. $P_m > K$ : 우리가 정해준 어떠한 기준점.
   2. $P_m>K+P_m e^{i \alpha} \Phi\left(\sigma \sqrt{i}+b_i\right)-K \Phi\left(b_i\right), \quad \forall i=1, \ldots, m(\text { for } m \geq 1)$ : 미래 시점들까지 고려해보았을 때 더 이득일 때.

   이때 다음이 만족이 됩니다.

   $$\mathbb E\left(\max \left\{0, P_{m-i}-K\right\} \mid P_m\right)=P_m e^{i \alpha} \Phi\left(\sigma \sqrt{i}+b_i\right)-K \Phi\left(b_i\right) \geq 0$$

   그러면 저희는 행사된 날의 주가를 다음과 같이 $SP$ 으로 정의할 수가 있습니다.

   $$S P= \begin{cases}S_n=P_{N-n}, & \text { if the option is exercised at day } n \in\{1, \ldots, N\} \\ K, & \text { otherwise. }\end{cases}$$

   기댓값 이익은 그러면 $\mathbb{E}[SP] - K$

   이것은 다음과 같은 시뮬레이션으로 추정하는 것이 가능합니다.